在奥数中，“余同”是一个数学概念，主要用于数论和同余关系中。具体含义如下：
一、基本定义
余同关系 若两个整数 $a$ 和 $b$ 除以同一个正整数 $m$ 所得的余数相同，即 $a equiv b pmod{m}$，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 余同。例如，$7 equiv 17 pmod{10}$，因为 $7$ 和 $17$ 除以 $10$ 的余数都是 $7$。
余同的数学表达
若 $a equiv b pmod{m}$，则存在整数 $k$ 使得 $a = b + km$。例如，$23 equiv 3 pmod{20}$，因为 $23 = 3 + 20 times 1$。
二、余同的性质与应用
同余式的传递性
若 $a equiv b pmod{m}$ 且 $b equiv c pmod{m}$，则 $a equiv c pmod{m}$。例如，若 $x equiv 2 pmod{3}$ 且 $x equiv 5 pmod{3}$，则 $x equiv 2 equiv 5 pmod{3}$。
余同的运算规则
- 若 $a equiv b pmod{m}$ 且 $c equiv d pmod{m}$，则 $a + c equiv b + d pmod{m}$，$a - c equiv b - d pmod{m}$，且 $ac equiv bd pmod{m}$。
余同在数论中的意义
余同是数论中研究整数性质的重要工具，例如中国剩余定理（CRT）的核心思想就是通过余同关系将多组同余方程合并为一个方程。
三、典型例题
例1： 判断 $17$ 和 $29$ 是否余同模 $12$ 解：$17 div 12 = 1 text{ 余 } 5$，$29 div 12 = 2 text{ 余 } 5$，余数相同，故 $17 equiv 29 pmod{12}$。
例2：求满足 $x equiv 3 pmod{4}$ 且 $x equiv 5 pmod{6}$ 的最小正整数 $x$
解：4 和 6 的最小公倍数是 12，根据余同性质，$x = 12n + 3$，代入 $x equiv 5 pmod{6}$ 得 $12n + 3 equiv 5 pmod{6}$，解得 $n = 1$，所以 $x = 15$。
四、总结
余同是数论中描述整数间余数一致性的重要概念，通过余同关系可以简化计算并解决同余方程组。掌握余同的性质与运算规则，对于提升解题效率具有关键作用。