根据搜索结果，山西省有以下专业摔跤学校及机构：
忻州市摔跤柔道运动学校 
- 属中等职业学校，由忻州市人民政府管理，在校生规模700人，承担省运会摔跤柔道项目任务。
朔州市体育运动学校
- 同属中等职业学校，由朔州市人民政府管理，规模500人，设有摔跤专业。
晋城市体育运动学校
- 新设立的中等职业学校，管理权限归属未明确说明，但作为省体校体系扩展的一部分，可能包含摔跤项目。
原平市云水中学
- 虽为中学，但被授予“山西省摔跤柔道后备人才训练基地”称号，提供专业摔跤训练，注重非遗文化与体教融合。
太原市体育局摔跤训练中心
- 提供专业教练和全面训练课程，适合初学者及专业选手，配备标准场地和设备。
其他说明：
山西省体育运动学校（原晋中、太原、大同三校）虽设有摔跤队，但未明确标注为专业摔跤学校。- 搜索结果中提及的北京、上海等地的体育院校不属山西省内机构，已排除。