二进制换算公式是用于在不同进制之间转换的核心工具，其核心思想是通过位权展开法将任意进制的数转换为十进制，或从十进制转换为其他进制。以下是具体说明：
一、二进制转十进制公式
对于一个二进制数 $a_n a_{n-1} dots a_1 a_0$（其中 $a_i$ 为0或1），其转换为十进制的公式为：
$$
a_n times 2^n + a_{n-1} times 2^{n-1} + dots + a_1 times 2^1 + a_0 times 2^0
$$
示例：将二进制数 $1101.01_2$ 转换为十进制
$$
1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 + 0 times 2^{-1} + 1 times 2^{-2} = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = 13.25
$$
二、十进制转二进制公式
将十进制数 $D$ 转换为二进制数，可通过不断除以2并记录余数，然后将余数倒序排列得到。公式可表示为：
$$
D = sum_{i=0}^{k} b_i times 2^i
$$
其中 $b_i$ 为余数（0或1），$k$ 为商的最高次幂。
示例：将十进制数23.375转换为二进制
1. 整数部分：23 ÷ 2 得余数序列 1, 1, 1, 0, 1 → $10111_2$
2. 小数部分：0.375 × 2 = 0.75 → 取整0，继续乘以2得1.5 → 取整1，继续得0.5 → 取整0 → 结束 → $0.011_2$
3. 合并结果：$10111.011_2$
三、其他进制转换公式
对于任意进制 $n$（基数为 $n$），转换公式为：
$$
a_n times n^n + a_{n-1} times n^{n-1} + dots + a_1 times n^1 + a_0 times n^0
$$
示例：将八进制数 $327_8$ 转换为十进制
$$
3 times 8^2 + 2 times 8^1 + 7 times 8^0 = 192 + 16 + 7 = 215
$$
四、注意事项
位权顺序：
不同进制的位权基数不同（如十进制是10的幂，二进制是2的幂），转换时需注意对应关系；
负数表示：
二进制负数通常采用补码形式，需先确定符号位，再转换绝对值。
通过以上公式，可灵活实现不同进制间的转换，是计算机科学中的基础运算方法。