二进制乘除法是计算机底层运算的核心，其原理可归纳如下：
一、二进制乘法
基本法则 采用“按位与”与“位移”结合的方法，乘数每一位为1时，对应被乘数左移该位数并累加。例如：
$$
1001 times 1010 = (1001 times 1000) + (1001 times 0010) = 1001000 + 10010 = 1101110
$$
（对应位为1时，左移1、2、3位并相加）。
优化算法
- 位移与加法： 通过左移和按位或操作实现，例如： $$ a times b = sum_{i=0}^{n-1} (a gg i) times (b ll i) $$ - 分治法
$$
123 times 123 = (100 + 20 + 3) times 123 = 100 times 123 + 20 times 123 + 3 times 123
$$
这种方法减少计算次数，适用于大数乘法。
二、二进制除法
基本法则 通过右移（相当于除以2）和减法实现，例如：
$$
1101 div 1011 = 1 text{（余数为 } 010 text{）}
$$
从最高位开始，若当前位大于等于除数，则右移并保留结果，否则减去除数后继续处理。
特殊情况
仅当除数为2的幂次方时，可通过右移直接计算，例如：
$$
1010 div 1000 = 1 text{（右移3位）}
$$
其他情况需结合减法逐步逼近。
三、注意事项
进制转换： 除法运算中，需注意二进制补码表示法，避免符号位处理错误。 效率优化
以上方法综合了理论基础与实际应用，适用于不同场景的二进制运算需求。