十进制数 157转换为二进制数的过程如下：
一、整数部分转换（降幂法）
1. 找出小于或等于157的最大的2的幂次方：
- $2^7 = 128$（小于157）
- $2^8 = 256$（大于157）
2. 用157减去最大的2的幂次方，记录结果：
- $157 - 128 = 29$
3. 对余数29重复上述步骤：
- $29 - 16 = 13$（$2^4$）
- $13 - 8 = 5$（$2^2$）
- $5 - 4 = 1$（$2^0$）
4. 将所有选中的幂次方对应的二进制位组合起来：
- $157_{10} = 10011101_2$
二、验证结果
将二进制数 10011101转换回十进制进行验证：
$$
1 times 2^7 + 0 times 2^6 + 0 times 2^5 + 1 times 2^4 + 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 157
$$
结果正确。
三、其他表示形式
八进制：$157_{10} = 231_8$（通过分组法：$157 = 256 - 99 = 2^7 - 2^6 - 2^2 - 2^0$）
十六进制：$157_{10} = 9D_{16}$（$157 = 256 - 99 = 2^8 - 64 - 32 - 1 = 9D$）
四、总结
十进制数 157的二进制表示为 10011101，转换过程采用降幂法，通过不断减去2的幂次方并记录结果实现。